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還有一個問題與這個細(xì)微的區(qū)別有關(guān)。按照主觀解釋，第n次投硬幣結(jié)果是正面向上的先驗(yàn)概率是二分之一；然而，如果大量實(shí)驗(yàn)的結(jié)果顯示這個硬幣是均勻的，根據(jù)這個實(shí)驗(yàn)證據(jù)所得的概率還是二分之一。波普爾認(rèn)為主觀解釋無法解決這個悖論，因?yàn)樗幕炯俣ň褪抢硇灾眯哦入S著證據(jù)的積累發(fā)生線性的變化；但是在剛才的例子中，概率——也就是主觀解釋所說的置信度——并沒有變化。對于客觀解釋，這個問題就很容易解決：因?yàn)榭陀^解釋的假設(shè)是整個概率陳述，而不是第n次實(shí)驗(yàn)結(jié)果這個事件；先前的實(shí)驗(yàn)證據(jù)必定會影響人們對第n次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的估計(jì)，但只要證據(jù)與作為假設(shè)的整個概率陳述相一致，就不會影響這個假設(shè)，這就解釋了剛才的例子中的概率并未因證據(jù)積累而變化的原因。(5)此外，如果我們把“全部的知識”等同于過去的一切實(shí)驗(yàn)證據(jù)，那么從確認(rèn)度理論的角度看，在理論假設(shè)的條件下得出這些實(shí)驗(yàn)證據(jù)的概率恰好等于這些實(shí)驗(yàn)證據(jù)的先驗(yàn)概率，因此理論的確認(rèn)度為零。這意味著，當(dāng)我們的理論假設(shè)是概率陳述時(shí)，我們的全部知識與假設(shè)中的概率值毫無關(guān)系，因此概率不是主觀知識或信念的度量。(11)

二、頻率解釋與量子力學(xué)解釋

毋庸諱言，物理學(xué)對于波普爾的概率哲學(xué)有著重要的影響，他反對主觀解釋正是因?yàn)檫@種概率哲學(xué)不符合物理學(xué)對概率論的實(shí)際運(yùn)用。(12)而且這種影響并不是單方面的，波普爾認(rèn)為概率哲學(xué)在量子力學(xué)哲學(xué)當(dāng)中的影響更不容忽視。他早在20世紀(jì)30年代就曾力圖借助頻率解釋來處理量子力學(xué)不確定性原理的解釋問題。

人們通常認(rèn)為，不確定性原理是量子力學(xué)的基本原理之一。我們之所以無法同時(shí)測得微觀粒子的精確位置和動量——也就是它們的“軌道”,正是因?yàn)檫@個原理的限制。(6)“軌道不能測得”又進(jìn)一步意味著微觀粒子不是實(shí)在的，即不是獨(dú)立于我們的觀察活動的。②波普爾強(qiáng)烈反對這樣的觀點(diǎn)。一方面，他認(rèn)為某些特殊情況下的粒子軌道是可以測得的，例如先測位置再測動量，那么這兩次測量之間的粒子軌道就可以很容易地計(jì)算出來。③而且他反復(fù)強(qiáng)調(diào)我們需要軌道的概念來驗(yàn)證不確定性原理，就像我們需要精確觀察每一次投骰子的結(jié)果以驗(yàn)證相關(guān)的概率一樣。(7)另一方面，他并不認(rèn)為不確定性原理是量子力學(xué)的基本原理，因?yàn)槲覀兛梢詮难Χㄖ@方程和波恩幾率詮釋出發(fā)來推導(dǎo)不確定性原理，但是反過來顯然無法推導(dǎo)。⑤這就意味著量子力學(xué)的統(tǒng)計(jì)特性并不是不確定性原理的結(jié)果，反倒是因?yàn)榱孔恿W(xué)在根本上具有這種統(tǒng)計(jì)特性，所以才會導(dǎo)致不確定性原理。波普爾認(rèn)為，按照頻率解釋，因?yàn)椴ǘ鲙茁试忈尶梢詾閱蝹€粒子的測量結(jié)果賦予概率，所以它屬于“形式上單稱的概率陳述”(formally singular probability statement)⑥。于是，由波恩幾率詮釋推導(dǎo)出來的不確定性原理若用來描述單個粒子，顯然也屬于“形式上單稱的概率陳述”。也就是說，當(dāng)人們根據(jù)不確定性原理說“該粒子位置的不確定度與動量的不確定度的乘積不小于某個常數(shù)”時(shí)，他們并不是在討論某一個粒子，而是大量同種粒子的測量結(jié)果構(gòu)成的序列。因此，這句話的實(shí)際含義是——當(dāng)我們從大量同種粒子當(dāng)中篩選出位置處于某一范圍的粒子時(shí)，它們的動量的不確定度與位置的不確定度的乘積不小于某個常數(shù)；當(dāng)我們從大量同種粒子中篩選出動量值處于某一范圍的粒子時(shí)，它們的位置的不確定度與動量的不確定度的乘積仍不小于那個常數(shù)。這就是波普爾對不確定性原理的統(tǒng)計(jì)解釋。⑦

在波普爾看來，客觀解釋在量子力學(xué)哲學(xué)問題上的應(yīng)用是成功的，而與之相反的則是主觀解釋的失敗。波普爾一直強(qiáng)調(diào)的一個觀點(diǎn)就是，概率性的結(jié)論(或稱統(tǒng)計(jì)結(jié)論)只能從概率性的前提推導(dǎo)出來。⑧因?yàn)榱孔恿W(xué)是一個統(tǒng)計(jì)理論，且不確定性原理是由這個統(tǒng)計(jì)理論推導(dǎo)出來的統(tǒng)計(jì)結(jié)論，所以我們不能用不確定性原理來解釋量子力學(xué)的統(tǒng)計(jì)特性，特別是不能說不確定性原理限制了我們的知識，反倒應(yīng)該說它增加了我們關(guān)于粒子分布規(guī)律的知識。(8)一般地，我們不能從主觀前提推導(dǎo)出統(tǒng)計(jì)結(jié)論。概率的主觀解釋經(jīng)常把“幾乎確定”解釋為客觀的“幾乎總是發(fā)生”而不是主觀的“非常堅(jiān)定地相信”,即主觀解釋在推導(dǎo)過程中把主觀概率命題偷換成了客觀概率命題，這顯然不合法。(9)這種至少是不經(jīng)意的偷換概念顯然也影響了很多物理學(xué)家，使他們總在主觀解釋和客觀解釋之間搖擺(10),甚至認(rèn)為量子力學(xué)根本不是對客觀自然的表征而是對主觀知識的表征。波普爾認(rèn)為這種看法引入了概率的主觀解釋，從而不可避免地導(dǎo)致主觀解釋的諸多謬誤。因此，我們必須通過客觀解釋重構(gòu)量子力學(xué)哲學(xué)，只有這樣才能得到正確的量子力學(xué)解釋。(11)

三、從頻率解釋到傾向性解釋

雙縫干涉實(shí)驗(yàn)是波普爾關(guān)注的另一個量子力學(xué)哲學(xué)難題。在這個實(shí)驗(yàn)中，兩條狹縫交替開放和同時(shí)開放所得的粒子分布明顯不同。這一奇特事實(shí)讓波普爾開始懷疑自己對單個事件概率的解釋：既然波函數(shù)表征著單個粒子的概率，而雙縫干涉實(shí)驗(yàn)顯然意味著波函數(shù)可以相互干涉，那么單個事件的概率應(yīng)當(dāng)也是可以相互作用的，即是物理實(shí)在的，而不只是“形式上單稱的概率陳述”。這個想法促使波普爾反思頻率解釋的不足，并于1953年放棄了它。(12)

為揭示頻率解釋的不足，波普爾構(gòu)造了一個例子。有一個不均勻的骰子，大量實(shí)驗(yàn)表明用它擲出“六”的概率是四分之一。現(xiàn)在考慮一個由擲骰子的結(jié)果構(gòu)成的序列b,其中三次結(jié)果是投擲正常骰子得到的，其余結(jié)果都是投擲那個不均勻的骰子得到的。事實(shí)上，投擲正常骰子得到“六”的概率是六分之一；但由于這個結(jié)果處在不均勻骰子占“統(tǒng)治地位”的序列中，根據(jù)頻率解釋，我們只能說其中投擲正常骰子得到“六”的概率是四分之一。⑤

人們可能會說，投擲正常骰子的結(jié)果不僅屬于序列b,它們也屬于僅由投擲正常骰子的結(jié)果構(gòu)成的序列c。然而，如果我們討論的是這兩個序列的公共部分，那么該部分只有三個元素，我們顯然無法在只有三個元素的序列中得到“六分之一”這個頻率。因此我們只能考慮b和c這兩個序列。而且，之所以投擲正常骰子得到“六”的概率是六分之一，是因?yàn)槲覀儽仨氃谛蛄衏中——而不能在序列b中——計(jì)算該事件的頻率。這說明與骰子有關(guān)的物理屬性決定了我們必須采納何種序列中的頻率作為概率，在一般情況下，則是特定的實(shí)驗(yàn)條件決定了特定事件的概率。其中“實(shí)驗(yàn)”所言說的雖然是一個單個的實(shí)驗(yàn)，但必須相對于這個實(shí)驗(yàn)的同一性標(biāo)準(zhǔn)。這種同一性標(biāo)準(zhǔn)指的是把兩次實(shí)驗(yàn)看作同一種實(shí)驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)，例如投硬幣的時(shí)候需要投多高，投兩米高和投十米高算不算是同一種投硬幣的實(shí)驗(yàn)。這樣的同一性標(biāo)準(zhǔn)得到確立之后，實(shí)際上一種客觀的實(shí)驗(yàn)條件或者實(shí)驗(yàn)設(shè)置就確立起來了。所謂概率，就是實(shí)驗(yàn)條件的屬性，它所刻畫的是實(shí)驗(yàn)條件產(chǎn)生特定事件的一種物理的、真實(shí)的傾向性。這就是波普爾提倡的概率的傾向性解釋。(13)

頻率解釋在理論上還有一個弱點(diǎn)，即理想序列的無限性，這導(dǎo)致它對概率與現(xiàn)實(shí)序列中相對頻率的聯(lián)系問題的處理難以令人完全滿 意。(14)波普爾認(rèn)為建立在測度論基礎(chǔ)上的“新古典概率論”可以近乎完美地解決這個問題。③更 重要的是，在這個理論中，概率被賦予單個事件，具體的概率值與該事件的客觀條件密切相關(guān)，這恰好符合傾向性解釋的主 張。④

在波普爾看來，傾向性這種物理的、真實(shí)的屬性與物理學(xué)中的力、場等概念別無二致。我們可以考慮一個關(guān)于電場的物理陳述，若引入一個帶電體，我們就可以通過帶電體的受力情況來檢驗(yàn)關(guān)于電場的陳述。但這個陳述并不是關(guān)于帶電體的，而是關(guān)于電場的傾向性的。同理，我們可以通過投骰子來檢驗(yàn)其概率，但這個概率陳述并不是關(guān)于骰子的，而是關(guān)于實(shí)驗(yàn)條件的傾向性的。如果我們在非常弱的引力場中投擲上述不均勻的骰子，那么得到“六”的概率就可能從四分之一減小到六分之一；如果該引力場變得非常強(qiáng)，那么相應(yīng)的概率就可能上升到三分之一甚至二分之一。(15)波普爾認(rèn)為傾向性與力、場的類比是非常完美的，然而由于傾向性與亞里士多德的“潛能”(Potentia)非常相似，人們很容易誤以為傾向性與“潛能”一樣，都是事物的內(nèi)稟屬性。事實(shí)上，傾向性是實(shí)驗(yàn)條件對事物的物理作用，因此它刻畫的是二者之間的關(guān)系；就像力不是某物的內(nèi)稟屬性而是兩個物體之間的相互作用一樣，傾向性也是一種關(guān)系屬性，而不是內(nèi)稟屬性。(16)

為了更具體地說明傾向性是真實(shí)的物理性質(zhì)，波普爾舉了釘板和小球的例子。小球從釘板頂部滾落，與釘子發(fā)生一系列碰撞之后落入釘板下方的格子里；當(dāng)大量小球從同一個起點(diǎn)滾落之后，它們最終的落點(diǎn)會呈現(xiàn)一種正態(tài)分布：落在起點(diǎn)正下方的小球最多，落在旁邊格子里的小球隨著它到起點(diǎn)正下方的距離的增大而減少。在波普爾看來，小球落入某個格子的概率，也就是傾向性，是釘板這個實(shí)驗(yàn)設(shè)置的真實(shí)的物理性質(zhì)。所謂真實(shí)的物理性質(zhì)，也就是說它可以被改變，當(dāng)我們改變它時(shí)，它將會做出相應(yīng)的反應(yīng)。對于釘板而言，我們要改變與之相關(guān)的傾向性，就可以把它傾斜著擺放；對于我們的操作，實(shí)驗(yàn)結(jié)果的傾向性會立刻做出反應(yīng)——小球落點(diǎn)的分布會發(fā)生傾斜。這意味著，實(shí)驗(yàn)設(shè)置發(fā)生改變時(shí)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果的傾向性也隨之變化，因此，傾向性是一種真實(shí)的物理性質(zhì)。(17)

四、傾向性解釋與量子力學(xué)解釋

如前所述，正是量子力學(xué)哲學(xué)使波普爾放棄頻率解釋并轉(zhuǎn)向傾向性解釋(18),這是量子力學(xué)哲學(xué)影響概率哲學(xué)的又一個典型案例。反過來，傾向性解釋作為新的概率哲學(xué)必定也要深刻地影響量子力學(xué)哲學(xué)。

在量子力學(xué)實(shí)驗(yàn)中，流行的說法認(rèn)為微觀物理系統(tǒng)的波函數(shù)所對應(yīng)的概率分布在該系統(tǒng)被測量時(shí)以一種隨機(jī)的、非連續(xù)的方式突變成另一種概率分布，即“波包坍縮”,而且這是微觀物理系統(tǒng)特有的性質(zhì)。波普爾則認(rèn)為波函數(shù)是傾向性的數(shù)學(xué)表征，稱其為“傾向波”。(19)量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的根本不同在于“傾向波”可以相互干涉，這說明“傾向波”是物理實(shí)在的④,但除此之外二者并沒有太大的區(qū)別。如果我們把概率理解為傾向性，那么，量子力學(xué)實(shí)驗(yàn)與釘板小球?qū)嶒?yàn)同樣作為概率性的過程，其中呈現(xiàn)的傾向性也應(yīng)當(dāng)是同質(zhì)的；“波包坍縮”并不僅是微觀現(xiàn)象，它其實(shí)無非是傾向性的轉(zhuǎn)變。

作為例子，波普爾試圖說明“波包坍縮”在釘板小球的實(shí)驗(yàn)中也是存在的：如果我們選定釘板上的一顆釘子，并且僅考慮下落過程中與這顆釘子發(fā)生碰撞的小球，那么這些小球的分布自然和全部小球的分布有所不同；但我們并不會說小球在與這顆釘子發(fā)生碰撞的瞬間發(fā)生了“波包坍縮”,以至于碰撞之后的分布較碰撞之前發(fā)生了變化。應(yīng)該說，當(dāng)我們僅考慮與這顆釘子發(fā)生碰撞的小球時(shí)，實(shí)驗(yàn)設(shè)置(即同一性標(biāo)準(zhǔn))發(fā)生了改變，因此傾向性隨之改變，最終呈現(xiàn)出不同的分布。同樣地，當(dāng)雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中的一條狹縫開放或關(guān)閉時(shí)，實(shí)驗(yàn)設(shè)置的改變也會導(dǎo)致粒子的不同概率分布。(20)這時(shí)人們總是疑惑穿過其中一個狹縫的粒子怎么知道另一個狹縫是否是開著的。波普爾認(rèn)為粒子確實(shí)無法知道，但整個實(shí)驗(yàn)裝置“知道”究竟哪條縫是開著的，因此是實(shí)驗(yàn)設(shè)置決定了粒子的分布。⑥在另一個實(shí)驗(yàn)中，一個光子射向半反半透的鏡子。不妨設(shè)這個光子出現(xiàn)在反射的光路上，此時(shí)我們不應(yīng)該說這個光子發(fā)生了“波包坍縮”,不能說它被反射的概率從二分之一突然變成了一，它被透射的概率從二分之一突然變成了零；而應(yīng)該說當(dāng)我們僅考慮被反射的光子時(shí)，實(shí)驗(yàn)設(shè)置發(fā)生了變化，傾向性也隨之發(fā)生了變化，因此我們得到了與之前完全不同的分布。(21)這樣看來，“波包坍縮”和主觀解釋所犯的錯誤如出一轍。主觀主義者認(rèn)為新“信息”可以改變概率，例如得知骰子點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，點(diǎn)數(shù)是二的概率就由六分之一變成了三分之一。但波普爾認(rèn)為這只是改變了p(a,b)中的b,即采納不同的同一性標(biāo)準(zhǔn)，把結(jié)果是奇數(shù)的實(shí)驗(yàn)與結(jié)果是偶數(shù)的實(shí)驗(yàn)區(qū)別開，把后者看成b,相當(dāng)于改變了實(shí)驗(yàn)設(shè)置。因此概率的變化仍是由客觀的原因——而不是知識或信念的變化——導(dǎo)致的。(22)

在這里，波普爾明確表示反對哥本哈根解釋的觀點(diǎn)。作為哥本哈根學(xué)派的代表人物之一，海森堡曾把“波包坍縮”說成是“觀察者”從可能性中挑選出現(xiàn)實(shí)性的過程。(23)在波普爾看來，海森堡的錯誤恰恰在于錯誤的概率哲學(xué)。海森堡認(rèn)為，作為一種新的“客觀的”物理實(shí)在，量子力學(xué)中的概率正是被量化了的亞里士多德的“潛能”概念。④然而，正如前文提到的，波普爾認(rèn)為正是亞里士多德的本質(zhì)主義使人們習(xí)慣于把關(guān)系屬性看成是“觀念的”(ideal)而不是“實(shí)在的”(real),這種習(xí)慣導(dǎo)致他們把傾向性這種關(guān)系屬性看成是主觀的東西，這就是概率的主觀解釋的思想根源。(24)而把概率當(dāng)成內(nèi)稟于對象之中的性質(zhì)，而不是對象與其環(huán)境之間的關(guān)系，正是導(dǎo)致種種量子疑難的重要誘因之一。(25)

盡管波普爾終其一生從未放棄他的傾向性解釋，但仍有很多學(xué)者不贊同這種觀點(diǎn)。(26)費(fèi)耶阿本德認(rèn)為量子物理學(xué)的新穎之處在于概率并不直接等于波函數(shù)的“函數(shù)值”,而是“函數(shù)值”的“模平方”,這才導(dǎo)致了量子干涉現(xiàn)象。可是波普爾并不能通過釘板的類比來解釋干涉現(xiàn)象，因?yàn)楸M管干涉現(xiàn)象確實(shí)與實(shí)驗(yàn)設(shè)置有關(guān)，但問題并不在這里，而是在于我們無法在承認(rèn)粒子軌道這個概念的前提下解釋干涉現(xiàn)象。以N.玻爾(Niels Bohr)為代表的哥本哈根解釋正是在充分考慮到這些問題的基礎(chǔ)上才最終放棄軌道概念的。(27)然而波普爾提出釘板實(shí)驗(yàn)的目的并非解釋干涉現(xiàn)象，而且他很清楚釘板實(shí)驗(yàn)和雙縫實(shí)驗(yàn)的區(qū)別(28),但他認(rèn)為這種區(qū)別是次要的，二者的相同點(diǎn)才是所謂“波包坍縮”的本質(zhì)。(29)至于粒子軌道的概念，費(fèi)耶阿本德的論證代表著被物理學(xué)家廣泛接受的正統(tǒng)量子力學(xué)解釋，但這種解釋并非沒有問題。正如波普爾指出的，玻爾認(rèn)為位置和動量只能在相互排斥的實(shí)驗(yàn)設(shè)置中得到測量，但事實(shí)上對動量的測量結(jié)果往往是通過對位置的測量而計(jì)算出來的。(30)在數(shù)學(xué)上，人們在發(fā)現(xiàn)一般的希爾伯特空間中同時(shí)對應(yīng)精確的位置和動量的狀態(tài)矢量不存在后，都開始相信單個粒子不能同時(shí)具有位置和動量。(31)但波普爾和玻爾、愛因斯坦等物理學(xué)家一樣反對這種“畢達(dá)哥拉斯主義”,他明確表示：狀態(tài)矢量僅代表系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)特性，并不描述單個粒子，因此與粒子的精確位置與動量不沖突。(32)

費(fèi)耶阿本德在仔細(xì)梳理玻爾的思想脈絡(luò)之后總結(jié)道，要解決量子力學(xué)解釋問題，還是得回歸玻爾及其互補(bǔ)性原理。(33)然而現(xiàn)實(shí)卻并未接受他的建議，否則我們現(xiàn)在就不會看到那么多互不相容的量子力學(xué)解釋。有趣的是，眾多量子力學(xué)解釋并存的事實(shí)也可以用來反駁波普爾的觀點(diǎn)，因?yàn)榘蚜孔恿W(xué)解釋問題完全看成概率解釋問題顯然也不是一個完美的方案。盡管我們可以利用概率解釋保留粒子軌道的概念，進(jìn)而通過真實(shí)的物理相互作用來解釋不確定性，但這種解釋與量子力學(xué)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之間的沖突仍是不容忽視的。即便不是畢達(dá)哥拉斯主義者，也必須嚴(yán)肅對待這個沖突。巴布在其批評波普爾的傾向性解釋的文章中所強(qiáng)調(diào)的正是這個解釋與量子概率的數(shù)學(xué)特性不一致的問題。(34)不過這篇文章側(cè)重于對量子概率的說明，沒有明確指出波普爾究竟在哪個環(huán)節(jié)犯了錯誤。實(shí)際上，量子概率、量子邏輯的演算系統(tǒng)都與量子力學(xué)有著同樣的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。我們將會看到，波普爾概率哲學(xué)的問題在他關(guān)于量子邏輯的論述中表現(xiàn)得最為突出。

五、量子邏輯及其概率特性

這里所說的量子邏輯指的是由伯克霍夫和馮·諾依曼在1936年提出的一項(xiàng)與量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相關(guān)的研究。(35)他們在研究中指出，無論是經(jīng)典物理學(xué)還是量子物理學(xué)，在關(guān)于物理系統(tǒng)的性質(zhì)命題和描述該物理系統(tǒng)的狀態(tài)空間的特定部分(子集或子空間)之間都可以建立一種對應(yīng)關(guān)系，而且這種對應(yīng)關(guān)系又可以把命題演算和狀態(tài)空間的類似演算對應(yīng)起來。如果說命題演算使那些物理學(xué)命題構(gòu)成了一個邏輯系統(tǒng)，那么相應(yīng)的狀態(tài)空間以及相關(guān)的演算就構(gòu)成了與這個邏輯系統(tǒng)同構(gòu)的代數(shù)結(jié)構(gòu)。通過對比經(jīng)典物理學(xué)和量子物理學(xué)對應(yīng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)，在數(shù)學(xué)上不難發(fā)現(xiàn)，經(jīng)典物理學(xué)對應(yīng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)是布爾代數(shù)，其中“布爾和”與“布爾積”之間的分配律是成立的，而量子物理學(xué)對應(yīng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)中卻存在著違背分配律的情況。分配律是否成立是區(qū)別這兩種代數(shù)結(jié)構(gòu)的唯一特征。(36)

代數(shù)結(jié)構(gòu)上的差異似乎意味著量子力學(xué)的邏輯不同于經(jīng)典力學(xué)的邏輯，也就是經(jīng)典邏輯，這當(dāng)然涉及兩種邏輯系統(tǒng)的地位和關(guān)系等邏輯哲學(xué)問題。以普特南為代表的一些學(xué)者主張量子邏輯是經(jīng)典邏輯背后的“真邏輯”,并用量子邏輯構(gòu)造新的量子力學(xué)解釋。(37)波普爾對這種邏輯哲學(xué)和量子力學(xué)解釋深感不滿(38),但他在討論量子邏輯問題時(shí)卻沒有以邏輯哲學(xué)理論為切入點(diǎn)，而是試圖論證所謂的分配律不成立是由于伯克霍夫和馮·諾依曼忽略了關(guān)于概率的一些基本前提，如果我們把這些前提考慮進(jìn)來，則很容易證明分配律是成立的。也就是說，量子力學(xué)對應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)也是布爾代數(shù)，它與經(jīng)典力學(xué)并沒有那么大的差別。

波普爾所說的與概率有關(guān)的前提，指的是當(dāng)我們在一種代數(shù)結(jié)構(gòu)上定義一個被理解為概率的函數(shù)時(shí)，這個函數(shù)必須要滿足的條件。設(shè)a和b為某種代數(shù)結(jié)構(gòu)中的元素，m(x)為這種代數(shù)結(jié)構(gòu)上的“概率函數(shù)”,波普爾認(rèn)為m(x)必須滿足一些條件，例如：

R1-2:a=b當(dāng)且僅當(dāng)對于任意m(x)都有m(a)=m(b);R4:對于任意m(x)都有m(a)+m(b)=m(a∧b)+m(a∨b)。

其中“∧”和“∨”分別是這種代數(shù)結(jié)構(gòu)中與“布爾積”和“布爾和”相對應(yīng)的運(yùn)算。在伯克霍夫和馮·諾依曼所考慮的那些代數(shù)結(jié)構(gòu)中，都存在著一個“最大”元素“1”和一個“最小”元素“0”,如果a和b滿足a∧b=0并且a∨b=1,就說它們互為“補(bǔ)元”(complement)。波普爾注意到馮·諾依曼在其他論著中曾經(jīng)證明過這個定理：如果一個代數(shù)結(jié)構(gòu)中每一個元素都有唯一的補(bǔ)元，并且還滿足一些其他的條件[特別是模條件(modular law)],那么這個代數(shù)結(jié)構(gòu)就是布爾代數(shù)。然而，考慮到R1-2、R4等前提，波普爾認(rèn)為伯克霍夫和馮·諾依曼所考慮的代數(shù)結(jié)構(gòu)必定要滿足這些條件。假設(shè)b和c都是a的補(bǔ)元，由R4得：對于任意m(x)都有m(b)=m(a∧b)+m(a∨b)-m(a)=m(0)+m(1)-m(a)=m(a∧c)+m(a∨c)-m(a)=m(c),再由R1-2即可得到b=c,這就是補(bǔ)元的唯一性。緊接著，波普爾又利用類似的方法證明了(包括模條件在內(nèi)的)其他的條件，于是他認(rèn)為伯克霍夫和馮·諾依曼所討論的量子力學(xué)的代數(shù)結(jié)構(gòu)仍然是布爾代數(shù)，所以量子力學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)也沒有偏離經(jīng)典邏輯。(39)

波普爾的論證看起來很有道理，而且非常嚴(yán)謹(jǐn)，但并不正確。主要的問題在于R4這個條件過分嚴(yán)格——伯克霍夫和馮·諾依曼的討論只要求存在一個m(x)滿足R4中的等式，并不要求這個等式對任何m(x)都成立。因此波普爾在證明過程中得到的m(b)=m(c)并不是對所有的m(x)都成立的，并不能借助R1-2得到補(bǔ)元的唯一性，即b=c。(波普爾在對模條件的證明中犯了同樣的錯誤。)事實(shí)上，伯克霍夫和馮·諾依曼也從來沒有認(rèn)為他們所討論的代數(shù)結(jié)構(gòu)中的每個元素都有唯一的補(bǔ)元，因此波普爾的理解和證明都是錯誤的。(40)

波普爾的上述論證顯然是在借助概率的性質(zhì)來推導(dǎo)邏輯規(guī)律，他之所以采用這樣的方法是因?yàn)樗嘈鸥怕蕦τ谶壿嫶_實(shí)有這樣的規(guī)定作用。早在20世紀(jì)30年代，波普爾就曾提出一個“最小的”概率演算公理系統(tǒng)，即所有的概率解釋都至少應(yīng)該承認(rèn)這個公理系統(tǒng)，進(jìn)而證明確認(rèn)度不滿足這些公理，所以不是概率。(41)在這個系統(tǒng)中，涉及補(bǔ)元的公理是：如果p(b,b)=p(c,b)并不對所有的c都成立，那么p(a,b)+p(aˉ,b)=p(b,b)。④假設(shè)都是a的補(bǔ)元，那么根據(jù)這個公理我們很容易證明對所有的b都成立，進(jìn)而得到補(bǔ)元的唯一性，即不僅如此，波普爾還明確指出，滿足他的公理系統(tǒng)的所有元素(a、b、c等等)恰好構(gòu)成一個布爾代數(shù)。(42)這意味著一個概率演算體系的最低標(biāo)準(zhǔn)也必須“內(nèi)嵌”著代表經(jīng)典邏輯的布爾代數(shù)，當(dāng)然也必然要求補(bǔ)元有唯一性。我們注意到，波普爾在評判概率的邏輯解釋時(shí)曾主張，只有當(dāng)布爾代數(shù)從概率演算規(guī)則中推導(dǎo)出來時(shí)，人們才能說邏輯解釋是合理的。(43)相信他在寫這段話時(shí)想到的一定是他的概率系統(tǒng)。難怪他要不遺余力地“證明”以非布爾代數(shù)為基本結(jié)構(gòu)的量子邏輯的“錯誤”。

事實(shí)上，這樣的“證明”只要不在數(shù)學(xué)上犯錯誤，就一定是由某些基本設(shè)定的分歧所導(dǎo)致的。波普爾的概率公理系統(tǒng)的一個基本假設(shè)是，如果a和b都是該系統(tǒng)所討論的元素，那么它們的“積”(product)ab也是系統(tǒng)所討論的元素。與之相關(guān)的公理是p(ab, c)=p(a, bc)p(b, c)。③顯然，這預(yù)設(shè)了任意兩個命題的合取式的存在，因此是哥本哈根解釋不能允許的。例如a是關(guān)于某粒子位置的命題，b是關(guān)于該粒子動量的命題，哥本哈根解釋認(rèn)為a和b不能同時(shí)有意義，所以它們的積ab自然不會有定義。波普爾則認(rèn)為微觀粒子的任意精確的動量和位置是同時(shí)存在的，上述假設(shè)和公理正是這一信念的集中體現(xiàn)，也是與量子力學(xué)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之間沖突的焦點(diǎn)。

前文曾提到，波普爾把條件概率p(a, b)作為最基本的概念；然而在通常的概率體系中，絕對概率才是最基本的概念，且當(dāng)b的絕對概率p(b)為零時(shí)，p(a, b)是無意義的。波普爾認(rèn)為通常的設(shè)定存在缺陷。根據(jù)他的看法，全稱命題不可被證實(shí)，因此其概率和邏輯矛盾的概率一樣，都是零；可是，當(dāng)b是一個全稱命題，a是b的邏輯推論時(shí)，p(a, b)等于1,顯然是有意義的。波普爾的系統(tǒng)恰好能夠容許這種條件概率。④作為系統(tǒng)的定理，波普爾證明，若將b替換成邏輯矛盾(即“b并且非b”),則p(a,)=1。⑤現(xiàn)在我們來構(gòu)造一個例子：設(shè)|u〉、|v〉、|w〉是三個線性無關(guān)的單位態(tài)矢量，〈u|v〉=0。用a、b、c分別代表投影算符|u〉〈u|、|u〉〈u|+|v〉〈v|、|w〉〈w|所對應(yīng)的命題，也代表系統(tǒng)希爾伯特空間中相應(yīng)的子空間。易知ab=a, 且由線性無關(guān)性可知bc對應(yīng)的子空間是{0},因此它等價(jià)于邏輯矛盾,所以p(a,bc)=p(a,)=1。假定適當(dāng)選擇|v〉即可得到p(a, c)≠p(b, c),則p(ab, c)=p(a, c)≠p(b, c)=p(a, bc)p(b, c),這與波普爾的公理矛盾。

值得注意的是，在上述例子中，b與c既不正交又沒有非平庸的公共部分，它們對應(yīng)的可觀測量與位置和動量一樣是不相容的。然而，正是因?yàn)樗鼈儾幌嗳荩栽谀壳暗牧孔恿W(xué)數(shù)學(xué)體系中二者的聯(lián)合概率分布(joint probability distribution)不存在。因此，我們并不能先借助公認(rèn)的數(shù)學(xué)模型、根據(jù)聯(lián)合概率計(jì)算出p(b, c),再由p(b, c)的計(jì)算結(jié)果推論出“適當(dāng)選擇|v〉即可得到p(a, c)≠p(b, c)”這個結(jié)論。我們只能說，“對任何|v〉都有p(a, c)=p(b, c)”是不太可能的，或者猜測p(a, c)和p(b, c)分別與a、c和b、c之間的轉(zhuǎn)化概率有關(guān)，后兩者分別為tr(ac)=|〈u|w〉和tr(bc)=|〈u|w〉+|〈v|w〉,只要〈v|w〉≠0就能保證這兩個轉(zhuǎn)化概率不相等。無論如何，粗暴地?cái)嘌圆ㄆ諣柕摹板e誤”都是不可取的。可以說，這個細(xì)節(jié)更加深刻地揭示了同時(shí)承認(rèn)不相容可觀測量的理論與量子力學(xué)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之間不容忽視的張力。薩普斯在評價(jià)波普爾的量子力學(xué)哲學(xué)的文章中提到，盡管他非常贊同波普爾對量子邏輯的反駁(44),但仍認(rèn)為不相容可觀測量的聯(lián)合概率分布與量子力學(xué)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之間的沖突是個非常棘手的問題②。波普爾在回應(yīng)文章中承認(rèn)自己忽略了這個問題，并認(rèn)為這個問題超出了他的能力范圍。但他仍堅(jiān)持認(rèn)為他的量子力學(xué)哲學(xué)與量子力學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之間的沖突并不意味著他的失敗，因?yàn)槲覀兛偸怯锌赡軜?gòu)造適當(dāng)?shù)男吕碚搧硖娲F(xiàn)有的、馮·諾依曼式的數(shù)學(xué)模型，至少是繞開聯(lián)合概率分布的問題。(45)作為一個公正客觀的總結(jié)，我們應(yīng)當(dāng)認(rèn)識到現(xiàn)實(shí)情況并不支持波普爾的構(gòu)想，同時(shí)也不能武斷地否認(rèn)該構(gòu)想的可能性。

六、結(jié)語

波普爾在量子力學(xué)誕生初期就敏銳地意識到它與概率解釋的深刻聯(lián)系，并在其整個學(xué)術(shù)生涯中始終如一地堅(jiān)持把概率解釋的方法應(yīng)用在包括量子邏輯在內(nèi)的量子力學(xué)解釋問題中。前文的論證表明，概率解釋不僅影響了波普爾的量子力學(xué)解釋，而且滲透在他的邏輯思想當(dāng)中；后者導(dǎo)致他堅(jiān)決反對建立在量子邏輯基礎(chǔ)上的量子力學(xué)解釋，這可視作經(jīng)典概率解釋對量子力學(xué)解釋的一種負(fù)面影響。誠然，他的概率解釋方法并沒有成功地兼顧所有的量子疑難，在這個意義上他失敗了。可是如果我們要求一種量子力學(xué)解釋同時(shí)解決所有相關(guān)問題，那么包括哥本哈根解釋在內(nèi)的一切現(xiàn)有的理論都是失敗的。比起否定甚至嘲弄波普爾的失敗，我們更應(yīng)該仔細(xì)考察概率解釋與量子力學(xué)解釋之間的相互影響，以加深對物理學(xué)、概率論和邏輯學(xué)的基本結(jié)構(gòu)的理解。波普爾的不懈努力為我們展示出這種結(jié)構(gòu)的脈絡(luò)，我們可以通過他的工作更全面地把握量子力學(xué)及其概率特性。無論未來這些領(lǐng)域會如何發(fā)展，對當(dāng)前狀況的深入研究都將起到至關(guān)重要的作用。

【注釋】

① Cf.Donald Gillies,“Popper's Contribution to the Philosophy of Probability”,in Karl Popper:Philosophy and Problems,Anthony O'Hear ed.,Cambridge University Press,1995,p.103.

(1) 限于篇幅,我們對波普爾批評主觀解釋的諸論證不加評判。

(2) ③⑥ Cf.Karl R.Popper,The Logic of Scientific Discovery,Routledge,1959,pp.403-405;pp.135-137;pp.159-163.

(3) ⑤⑦ Cf.Karl R.Popper,Realism and the Aim of Science,Hutchinson,1983,pp.289-290;pp.297-298;pp.299-300.

(4) ②③④⑤⑥⑦⑧⑨ Cf.Karl R.Popper,Realism and the Aim of Science,Hutchinson,1983,p.315;pp.310-312;p.296;p.288,p.294;p.312;p.296;pp.293-294;p.296;pp.337-339.

(5) (11)(12) Cf.Karl R.Popper,The Logic of Scientific Discovery,Routledge,1959,pp.425-427;pp.431-432;p.137.

(6) ②③⑤⑥⑦⑧ Cf.Karl R.Popper,The Logic of Scientific Discovery,Routledge,1959,p.223;p.227;p.214,p.226;p.218;pp.202-203;pp.219-220;p.243,sect.70.

(7) Cf.Karl R.Popper,The Logic of Scientific Discovery,Routledge,1959,pp.226-227;Karl R.Popper,Quantum Theory and the Schism in Physics,Hutchinson,1982,pp.145-147.

(8) Cf.Karl R.Popper,“Quantum Mechanics without the Observer”,in Quantum Theory and Reality,Mario Bunge ed.,Springer-Verlag,1967,pp.20-21.

(9) Cf.Karl R.Popper,The Logic of Scientific Discovery,Routledge,1959,pp.171-172;Karl R.Popper,“Quantum Mechanics without the Observer”,in Quantum Theory and Reality,Mario Bunge ed.,Springer-Verlag,1967,pp.29-30.

(10) Cf.Karl R.Popper,Quantum Theory and the Schism in Physics,Hutchinson,1982,pp.106-118.

(11) Cf.Karl R.Popper,The Logic of Scientific Discovery,Routledge,1959,pp.229-230.

(12) ⑤ Cf.Karl R.Popper,“The Propensity Interpretation of Probability”,The British Journal for the Philosophy of Science 37(1959):pp.27-28;pp.31-32.

(13) Cf.Karl R.Popper,“The Propensity Interpretation of Probability”,The British Journal for the Philosophy of Science 37(1959):pp.32-35;Karl R.Popper,“Quantum Mechanics without the Observer”,in Quantum Theory and Reality,Mario Bunge ed.,Springer-Verlag,1967,pp.38-39.

(14) ③④ Cf.Karl R.Popper,Realism and the Aim of Science,Hutchinson,1983,pp.367-370;pp.384-387;pp.387-390.

(15) Cf.Karl R.Popper,“The Propensity Interpretation of the Calculus of Probability,and the Quantum Theory”,in Observation and Interpretation:A Symposium of Philosophers and Physicists,Stefan K?rner ed.,Butterworth,1957,p.68.

(16) Cf.Karl R.Popper,“The Propensity Interpretation of Probability”,The British Journal for the Philosophy of Science 37(1959):pp.37-38;Karl R.Popper,“Quantum Mechanics without the Observer”,in Quantum Theory and Reality,Mario Bunge ed.,Springer-Verlag,1967,pp.39-40;Karl R.Popper,Realism and the Aim of Science,Hutchinson,1983,p.359.

(17) ⑥ Cf.Karl R.Popper,“Quantum Mechanics without the Observer”,in Quantum Theory and Reality,Mario Bunge ed.,Springer-Verlag,1967,p.33;p.24.

(18) Cf.Karl R.Popper,Realism and the Aim of Science,Hutchinson,1983,p.398.

(19) ④ Cf.Karl R.Popper,Quantum Theory and the Schism in Physics,Hutchinson,1982,p.126;p.84.

(20) Cf.Karl R.Popper,“The Propensity Interpretation of the Calculus of Probability,and the Quantum Theory”,in Observation and Interpretation:A Symposium of Philosophers and Physicists,Stefan K?rner ed.,Butterworth,1957,p.69.

(21) Cf.Karl R.Popper,The Logic of Scientific Discovery,Routledge,1959,pp.231-232;Karl R.Popper,“Quantum Mechanics without the Observer”,in Quantum Theory and Reality,Mario Bunge ed.,Springer-Verlag,1967,pp.34-37.

(22) Cf.Karl R.Popper,Realism and the Aim of Science,Hutchinson,1983,p.394.

(23) ④ Cf.Werner Heisenberg,“The Development of the Interpretation of the Quantum Theory”,in Niels Bohr and the Development of Physics,Wolfgang Pauli ed.,Pergamon Press Ltd.,1955,p.23;pp.12-13.

(24) Cf.Karl R.Popper,Quantum Theory and the Schism in Physics,Hutchinson,1982,p.128.

(25) Cf.Karl R.Popper,“Quantum Mechanics without the Observer”,in Quantum Theory and Reality,Mario Bunge ed.,Springer-Verlag,1967,p.19.

(26) 大多數(shù)反駁屬于概率哲學(xué),不涉及量子力學(xué)解釋。[Cf.David Hugh Mellor,The Matter of Chance,Cambridge University Press,1971,pp.63-82;Paul Humphreys,“Why Propensities Cannot Be Probabilities”,The Philosophical Review XCIV(1985):pp.557-570;Peter J.Clark,“Statistical Mechanics and the Propensity Interpretation of Probability”,in Chance in Physics,Jean Bricmont,Giancarlo Ghirardi,Detlef Dürr,Francesco Petruccione,Maria Carla Galavotti & Nino Zanghi eds.,Springer,2001,pp.271-281;Antony Eagle,“Twenty-one Arguments against Propensity Analyses of Probability”,Erkenntnis 60(2004):pp.371-416;Manuel B?chtold,“An Instrumentalist Criticism of Popper's Propensity”,in Karl Popper.A Centenary Assessment.Volume III:Science,Ian C.Jarvie,Karl M.Milford & David W.Miller eds.,Ashgate,2006,pp.97-104;Jacob Rosenthal,“Karl Popper's Propensity Interpretation of Probability”,in Karl Popper.A Centenary Assessment.Volume III:Science,Ian C.Jarvie,Karl M.Milford & David W.Miller eds.,Ashgate,2006,pp.105-112.]

(27) Cf.Paul K.Feyerabend,“On a Recent Critique of Complementarity:Part I”,Philosophy of Science 35(1968):pp.324-329;Paul K.Feyerabend,“On a Recent Critique of Complementarity:Part II”,Philosophy of Science 36(1969):pp.94-97.

(28) Cf.W.W.Bartley,Ⅲ,“Critical Study:The Philosophy of Karl Popper,Part II:Consciousness and Physics”,Philosophia 7(1978):p.695.

(29) Cf.Karl R.Popper,Quantum Theory and the Schism in Physics,Hutchinson,1982,p.88.

(30) Cf.Karl R.Popper,“Quantum Mechanics without the Observer”,in Quantum Theory and Reality,Mario Bunge ed.,Springer-Verlag,1967,pp.23-24;Karl R.Popper,Quantum Theory and the Schism in Physics,Hutchinson,1982,pp.142-143;Leslie E.Ballentine,“The Statistical Interpretation of Quantum Mechanics”,Reviews of Modern Physics 42(1970):pp.365-366.

(31) 這些反實(shí)在論者的論據(jù)還包括貝爾不等式、柯申—斯派克定理(Kochen-Specker Theorem)等,但這些理由仍不足以反駁實(shí)在論。具體可參見量子力學(xué)統(tǒng)計(jì)解釋的相關(guān)研究,例如,Hans Rudolf Tschudi,“The Statistical Interpretation of Quantum Mechanics”,https://zenodo.org/records/15078174(Mar 25,2025)。

(32) Cf.Karl R.Popper,“Quantum Mechanics without the Observer”,in Quantum Theory and Reality,Mario Bunge ed.,Springer-Verlag,1967,pp.25-26.

(33) Cf.Paul K.Feyerabend,“On a Recent Critique of Complementarity:Part II”,Philosophy of Science 36(1969):pp.103-104.

(34) Cf.Jeffrey Bub,“Popper's Propensity Interpretation of Probability and Quantum Mechanics”,retrieved from the University of Minnesota Digital Conservancy.http://hdl.handle.net/11299/184671.

(35) Cf.Garrett Birkhoff & John von Neumann,“The Logic of Quantum Mechanics”,Annals of Mathematics 37(1936):pp.823-843.

(36) 參見葉峰:《量子邏輯》,載《方法論全書(II):應(yīng)用邏輯學(xué)方法》,李志才主編,南京大學(xué)出版社,1998,第457—505頁。

(37) Cf.Hilary Putnam,“Is Logic Empirical?”,in Boston Studies in the Philosophy of Science,vol.5,Robert S.Cohen & Marx W.Wartofsky eds.,Reidel,1968,pp.216-241.

(38) Cf.Flavio Del Santo,“An Unpublished Debate Brought to Light:Karl Popper's Enterprise against the Logic of Quantum Mechanics”,Studies in History and Philosophy of Science Part B:Studies in History and Philosophy of Modern Physics 70(2020):p.69.

(39) Cf.Karl R.Popper,“Birkhoff and von Neumann's Interpretation of Quantum Mechanics”,Nature 219(1968):pp.683-684.

(40) Cf.Erhard Scheibe,“Popper and Quantum Logic”,The British Journal for the Philosophy of Science 25(1974):pp.321-325.

(41) ④ Cf.Karl R.Popper,The Logic of Scientific Discovery,Routledge,1959,p.319;p.337.

(42) ③④⑤ Cf.Karl R.Popper,The Logic of Scientific Discovery,Routledge,1959,p.365;p.337;pp.333-335;p.335,p.361.

(43) Cf.Karl R.Popper,Realism and the Aim of Science,Hutchinson,1983,p.293.

(44) ② Cf.Patrick Suppes,“Popper's Analysis of Probability in Quantum Mechanics”,in The Philosophy of Karl Popper,Book II,Paul A.Schilpp ed.,The Open Court Publishing Co.,1974,p.768;pp.771-774.

(45) Cf.Karl R.Popper,“Replies to My Critics”,in The Philosophy of Karl Popper,Book II,Paul A.Schilpp ed.,The Open Court Publishing Co.,1974,pp.1138-1139.

原載：《世界哲學(xué)》2025年第4期